BCC:MAT0121 Exercícios

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(Esconda a grande tabela :p)

Tabela de conteúdo

1 E01
2 E02
3 E03
4 E04
5 E05
6 E06
7 E07
8 E08
9 E09
10 E10
11 E11
12 E12
13 E13
14 E14
15 E15
16 E16
17 E17
18 E18
19 E 19
20 E20
21 E21
22 E22
23 E23
24 E24
25 E25
26 E26
27 E27
28 E28
29 E 29
30 E 30
31 E 31
32 E 33
33 E 34
34 E 35
35 E 36
36 E 37
37 E 38
38 E 39
39 E 40:
40 E 41:
41 E 42:
42 E 43:
43 E 44:
44 E 45:
45 E 46:
46 E 47:
47 E 48:
48 E 49:
49 E 50
50 E 51==== (Critério de comparação no limite)
51 E 51 Verificar se as integrais impróprias abaixo são convergentes
52 E53
53 E54
54 E 55
55 E 56
56 E 57
57 E 58
58 E 59
59 E60
60 E 61
61 E 62

E01

Calcule as Integrais Indefinidas

1. $\int x^\alpha dx$	2. $\int {1/x} dx$	3. $\int e^x dx$	4. $\int sin{x} dx$	5. $\int cos{x} dx$	6. $\int (sin{x})^2 dx$
7. $\int (cos{x})^2 dx$	8. $\int tan{x} dx$	9. $\int (tan{x})^2 dx$	10. $\int (tan{x})^3 dx$	11. $\int (sec{x}) dx$	12. $\int (sec{x})^2 dx$
13. $\int (sec{x})^3 dx$	14. $\int {\frac{1}{1+x^2}} dx$	15. $\int {\frac{1}{1-x^2}} dx$	16. $\int {\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}}} dx$	17. $\int {\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}} dx$	18. $\int {\frac{x}{\sqrt{(1-x^2)}}} dx$
19. $\int \sqrt{(1-x^2)} dx$	20. $\int \sqrt{(x^2-1)} dx$	21. $\int \sqrt{(1+x^2)} dx$	22. $\int {\frac{x}{1+x^2}} dx$	23. $\int {\frac{x^2}{1+x^2}} dx$

E02

Definir a integral definida de $\displaystyle\ f[a,b] -> R$

E03

Enunciar o primeiro teorema fundamental do Cálculo

E04

Cálcule as integrais definidas de:

1. $\int_0^1 x^2 + x + 1 dx$

2. $\int_0^\pi sin{x} dx$

3. $\int_1^2 e^x +x dx$

E05

Definir as áres das regiões abaixo:

E06

Calcule a área da região delimitada por $\displaystyle\ x = 0$ , $\displaystyle\ x=1$ , $\displaystyle\ y =0$ , $\displaystyle\ y = x^2 +2$

E07

Calcule a área da região delimitada por $\displaystyle\ x = 1$ , $\displaystyle\ x=-1$ , $\displaystyle\ y = x^3$

E08

Calcule a área da região abaixo.

E09

E10

Enuncie o TVM para $\displaystyle\ f[a,b] -> R$

E11

Calcule a área lateral de um cone circular reto

E12

Calcule a área lateral de um tronco de um cone circular reto

E13

Calcule a área da região limitada pelos gŕaficos de $\displaystyle\ f(x) =x$ , $\displaystyle\ g(x) = x^3$ , onde $-1 \le x \le 1$

E14

Calcule o volume dos sólidos obtidos pelas rotações de $A= \{(x,y) \in \Re^2 : 0 \le x \le 1 e 0 \le y \le x^2 \}$ em torno dos eixos Ox e Oy.

E15

Calcule o comprimento do gráfico de $\displaystyle\ f(x) = -\ln{cos{x}}$ , onde $o \le x \le {\pi/4}$

E16

Calcule a área lateral da superfície obtida pela rotação do gráfico de $f(x) = \sqrt{x}$ de $0 \le x \le 1$ em torno de Ox.

E17

1. $\int (sec{x}) dx$

2. $\int \sqrt{4x+1} dx$

3. $\int (sec{x})^2 dx$

4. $\int x\sin{x} dx$

E18

?!?!!?!?!? O.o

E 19

(Volume de um sólido com seções planas conhecidas). Seja S um sólido entre os planos perependiculares ao eixo x, de a até b. Se para cada 0 <= x <= b conheceremos a área A(x) da região de interseção de S com o plano passando por x e perpendicular ao eixo x, então mostre que o volume de S é dado por $\int_a^b f(x) dx$

E20

Calcule o volume do sólido cujas bases são o semicirculo $x^2 + y^2 \le 1$ $, y \ge 0$ e (a) cujas secções perpendiculares ao eixo x são quadrados (b) cujas seções perpendiculares ao eixo x são semicirculos

E21

Encontre a área da região limitada pela parábola $\displaystyle\ y^2 = 2x -2$ e a reta $\displaystyle\ y = x -5$ .

E22

Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pela parábola $\displaystyle\ y = x^2 +1$ e a reta $\displaystyle\ y = x+3$

E23

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da refião limitada pelo eixo x e pelos gráficos de $f(x) = \sqrt{(x+1)/2}$ e $g(x) = \sqrt{ x-2}$

E24

Calcule o comprimento do gráfico de $\displaystyle\ f(x) = {(e^x + e^-x)/2}$ , $-1 \le x \le 1$

E25

Calcule a área lateral da superfície obtida pela toração do gráfico de x

E26

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação de $\displaystyle\ f(x) = cos{x}$ $0 \le x \le {\pi/2}$ em torno do gráfico de $\displaystyle\ f(x) = {(e^x + e^-x)/2}$ $-1 \le x \le 1$ em torno do eixo Ox.

E27

Considere a figura abaixo

Encontre os volumes dos sólidos obtidos pelas rotações deA, B, C em torno dos eixos Ox e Oy.

E28

Quais das funções abaixo são integráveis em [0,1]

$f(x) = 1 , \forall x \in [0,1]$
$f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{if }x \ne 0 \\ 1, & \mbox{if }x\mbox{ = 1} \end{cases}$
$f(x) = \begin{cases} 1, & \mbox{if }x = 0 \\ 0, & \mbox{if }x \ne 0 \end{cases}$
$f(x) = \begin{cases} 1, & \mbox{if }x = {1/2} \\ 0, & \mbox{if }x \ne {1/2} \end{cases}$
$f(x) = \begin{cases} 1, & \mbox{if }x = {1/2} \quad ou \quad x = {1/4} \\ 0, & \mbox{if }x \ne {1/2} \quad ou \quad x \ne {1/4} \end{cases}$
$f(x) = \begin{cases} 1, & \mbox{if }x \notin Q \\ 1, & \mbox{if }x \in Q \end{cases}$
$\displaystyle\ (x) = e^x$
$f(x) = \begin{cases} e^x, & \mbox{if } x \ne {1/2} , x \ne {1/4} x = {1/8} \\ 2, & \mbox{if }x = {1/2} \quad ou \quad x = {1/4} \quad ou \quad x = {1/8} \end{cases}$
$f(x) = \begin{cases} 1, & \mbox{if }x \ne 0 \\ {1/x} , & \mbox{if }x = 1 \end{cases}$

Capítulo 2. Funções dadas por uma integral.

E 29

Verifique se as funções abaixo são integráveis em [0,2]. EM caso afirmativo, calcule $\int_0^2 f(x) dx$

$f(x) = \begin{cases} 1, & \mbox{if }x = 2 \\ 0, & \mbox{if }x \ne 2 \end{cases}$
$f(x) = \begin{cases} x^4, & \mbox{if }0 \le x \le 1 \\ x+1, & \mbox{if }1 \ne x \ne 2 \end{cases}$
$f(x) = \begin{cases} {1/x^2}, & \mbox{if } 0 < x \ne 2 \\ 4, & \mbox{if }x = 0\end{cases}$

E 30

Calcule $f(x) \int_0^x f(t)dt, 0 \ne t \ne 2$ , onde

$\displaystyle\ f(t) = t -1$
$f(x) = \begin{cases} 1, & \mbox{if }0 \le x \le 1 \\ t, & \mbox{if }1 \ne x \ne 2 \end{cases}$
$f(x) = \begin{cases} t, & \mbox{if }0 \le x \le t \\ 2t, & \mbox{if }1 \ne t \ne 2 \end{cases}$

Definição: Seja a < b e f integrável em [a,b], então definimos $\int_a^b f(x) dx,$ "pondo" $\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$

E 31

Se F é uma primitiva de f em [a,b] mostre que $\int_a^b f(x) dx = F(a) - F(b)$

E 32: Seja f integrável no intervalo I e, a,b,c pontos de I mostre que $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx \int_c^b f(x) dx$

E 33

Dê o dominio das funções abaixo

$\int_0^x {\frac{1}{t-1}}dt$
$\int_0^x {\frac{1}{t^2-4}}dt$
$\displaystyle\ \int_-3^x {\frac{1}{t^2-4}}dt$

E 34

Seja f integrável em [a,b]. É verdade que existe c entre a e b tal que $\int_a^b f(x) dx = f(c) (b-a)$ ?

E 35

(Teorema do Valor médio para integrais) Seja f uma função contínua em [a,b], mostre que existe c entre a , b tal que $\int_a^b f(x) dx = f(c) (b-a)$ .

E 36

Seja f integrável em [a,b] com $|f(x)| \le M \forall x \in [a,b].$ Mostre que $| \int_a^b f(x) dx| \le M |b-a|$ .

E 37

Seja f integrável em um intervalo I e a $\in$ I. Mostre que a função $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ é contínua para todo x₀ $\in$ I.

E 38

(2 Teorema fundamental do Cálculo). Seja f contínua em um intervalo aberto I e a $\in$ I. Mostre que a função F(x) = $\int_a^x f(t) dt$ é derivável para todo x₀ $\in$ I. E vale F(x₀)' = f(x₀).

E 39

Calcule F(x), onde $f(x) = \int_o^x f(t) dt$ e $f(c) = \int_o^x f(t) dt$ e $f(t) = \begin{cases} t, & \mbox{if }-2 \le t \le 0 \\ t, & \mbox{if } t > 0 \end{cases}$ .

E 40:

Determine o domínio de F(x), onde $f(x) = \int_7^2 {\frac{1}{t^2 - 16}} dt$ .

E 41:

Ache F'(x) onde

$F(x) = \int_1^x e^t dt$
$F(x) = \int_1^x e^{-t^2} dt$ (e, elevado a -t quadrado)
$F(x) = \int_1^{x^2} e^{-t^2} dt$
$F(x) = \int_{x^2}^{x^3} e^{-t^2} dt$

E 42:

Suponha $f(t) > 0, \forall t \in \Re$ e f contínua em \Re. estude $F(x) = \int_1^{x^3 + 3x^2} f(t) dt$ com relacao a crescimento e decrescimento.

E 43:

Calcule $\int_0^1 F(x) dx$ onde $\int_{x^2 +2}^{e^2x} e^{-t^2}$

E 44:

Seja $f(t) \begin{cases} {sint{t}/t} , & \mbox{if }t \ne 0 \\ 2, & \mbox{if } t = 0 \end{cases}$

E 45:

Seja $f (x) = s q r t x$ e $g (x) = x$ e considere

Calcule a área de A.
Calcule o volúme do sólido obtido pela rotação de A em Ox
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de f(x0) , de 0 até 1.
Indique a integral que permiote calcular o comprimento do gráfico de f(x) tem de 1 até 0
Indique a integral que calcule a área lateral da superfície obtida pela rotação de Ox do gŕafico de f, onde x entre 0 e 1.

Cápítulo 3. Integral imprópria.

Definição. Seja f integrável em [a,t] para todo t > a. Definimos $\int_a^{\infty} f(x) dx = \lim \int_a^t F(x) dx$ , com t tendendo a $\infty$ . Tal limite é denominado a integral imprópria de f estendidade ao intervalo $[a,+\infty[$ Caso Contrário, diremos que a integral imprópria é divergente.

E 46:

Verificar se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes.

$\int_1^{\infty} {\frac{1}{x^2}} dx$
$\int_1^{\infty} {\frac{1}{x}} dx$
$\int_1^{\infty} {\frac{1}{a}} dx$
$\int_0^{\infty} {\frac{1}{e^{-ax}}} dx$

E 47:

Definir as integrais impróprias das funções abaixo.

Arquivo:Graph47.png

O Fernando vai fazer ^^

E 48:

Verificar se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes.

$\int_0^1 {\frac{1}{x^{1/2}}} dx$
$\int_0^1 {\frac{1}{x}} dx$
$\int_0^1 {\frac{1}{x^9}} dx$
$\int_1^{\infty} {\frac{x^2}{1+x^4}} dx$

E 49:

Verificar se as integrais impróprias abaixo são convergentes.

$\int_1^{\infty} {\frac{x^3}{1+x^4}} dx$
$\int_1^{\infty} {\frac{x^2}{1+x^3}} dx$
$\int_1^{\infty} {\frac{1}{x^6 + 3x^2 +1}} dx$
$\int_0^{\infty} {e^{-x}} dx$

E 50

Mostre que se $\int_a^{\infty} f(x)dx$ é convergente, então $\int_a^{\infty} \alpha f(x)dx$ é convergente $\forall \alpha \in R$
Mostre que se $\int_a^{\infty} f(x)dx$ e $\int_a^{\infty} g(x)dx$ são convergentes, então $\int_a^b f(x) + g(x)dx$ é convergente
Mostre que se $\int_a^{\infty} f(x)dx$ é convergente, então $\int_a^{\infty} |f(x)|dx$ é convergente

E 51==== (Critério de comparação no limite)

Suponha f integrável em [a,t], para todo t >= a, com f(x) >= 0, para todo x pertencente a $[a, \infty[$ e que exista $α$ pertencente a R+ tal que $\lim_{x\to \infty} {f(x)x^\alpha = l}$ para x -> $\infty$ pertença a R+. Mostre que (a) Se $α$ > 1, então integral de a a $\infty$ de f(x)dx é convergente (b) Se $α$ <= 1, então integral de a a $\infty$ de f(x)dx é divergente

E 51 Verificar se as integrais impróprias abaixo são convergentes

1. $\int_1^{\infty} x^7/(1 + x^10))dx$
2. $\int_3^{\infty} e^{-7x} dx$
3. $\int_3^{\infty} e^{-7x} cosx^4dx$
4. $\int_3^{\infty} e^{-7x} cosx^5dx$
5. $\int_1^{\infty} \frac{2x^3 + x^2 +1}{x^5 + x + 2} dx$
6. $\int_4^{\infty} \frac{x^6 + x + 1}{x^7 + 2x^2 + 3} dx$
7. $\int_2^{\infty} \frac{1}{x^2lnx} dx$
8. $\int_2^{\infty} \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x^6 + x + 1}} dx$
9. $\int_1^{\infty} \frac{cosx}{x^2} dx$
10. $\int_1^{\infty}\frac{sin(2x)}{x^2} dx$
11. $\int_1^{\infty} \frac{sinx}{x} dx$
12. $\int_1^{\infty} \frac{(sinx)^2}{x} dx$
13. $\int_1^{\infty} |sinx/x|dx$
14. $\int_1^{\infty} e^{1/x}/x^2 dx$

Coordenadas polares

E53

Definir coordenadas polares e relacioná-las com coordenadas cartesianas

E54

$Seja \quad \theta \quad \in \quad R \quad e \quad r < 0 \quad localize \quad o \quad ponto \quad (\theta,r) \quad no \quad sistema \quad de \quad coordenadas \quad polares.$

E 55

Localize os pontos abaixo em coordenadas polares

$(\frac{\pi}{2},1)$
$(\frac{3\pi}{2},2)$
$(\frac{-\pi}{2},1)$
$\displaystyle\ (0,2)$
$(\frac{\pi}{2}, -1)$
$\displaystyle\ (\pi, -1)$

E 56

Desenhe as curvas abaixo:

$\displaystyle\ r = 2$
$\displaystyle\ \theta = \pi/2$
$\displaystyle\ r.cos(\theta) = 4$
$\displaystyle\ r = cos(\theta)$ (espiral De Arquimedes)
$\displaystyle\ r = 1/\theta$ (espiral recíproca)
$\displaystyle\ r = e^\theta$ (espiral logarítimica)
$\displaystyle\ r = cos(\theta),\mbox{ }0 <= \theta <= 2\pi$
$\displaystyle\ r = |cos(\theta)|,\mbox{ }0 <= \theta <= 2\pi$
$\displaystyle\ r = cos(2\theta),\mbox{ }0 <= \theta <= 2\pi$ (rosácea de 4 pétalas)
$\displaystyle\ r = cos(3\theta),\mbox{ }0 <= \theta <= 2\pi$ (rosácea de 3 pétalas)
$\displaystyle\ r = cos(4\theta),\mbox{ }0 <= \theta <= 2\pi$ (rosácea de 8 pétalas)
$\displaystyle\ r = 1- cos(\theta)$ (cardióide)
$\displaystyle\ r = 2 + cos(\theta),\mbox{ }0 <= \theta <= 2\pi$ (caracol)
$\displaystyle\ r = 1 + 2cos(\theta)$ (limaçon)
$\displaystyle\ r = \sqrt{cos(2\theta)}$ (leminiscata)

E 57

Sejam $\displaystyle\ r = f(\theta)$ e $\displaystyle\ A = {(\theta,r): \alpha <= \theta <= \beta e 0 <= r <= f(\theta)}$ . Mostre que a área de A é dada por $1/2\int_\alpha^\beta f(\theta) d\theta$

E 58

Calcule a área da região limitada pelo cardióide $\displaystyle\ r = 1- sin\theta$ .

E 59

Calcule a área da intersecção das regiões limitadas pelas curvas em coordenadas polares $\displaystyle\ r = 3 cos\theta$ e $\displaystyle\ r = 1 + cos\theta$ .

E60

Sejam $f(x) = \sqrt{x^2 -1}$ e $A = {(x,y) \in R^2 : 1 <= x <= (\sqrt6)/2 e 0 <= y <= f(x)}$ . Usando coordenadas polares calcule a área de A.

E 61

Considere as curvas dadas em coodenadas cartesianas $\sqrt{(x^2 + y^2)^3} = \sqrt{3}y \quad e \quad \sqrt{(x^2 + y^2)^3} = x$ . Passe essas curvas para coordenadas polares e calcule a área da intersecção das regiões limitadas por elas.

E 62

Verificar se as integrais impróprias convergem

$\int_2^{\infty} \frac{x^6 + x + 1}{x^9 + x^7 + 7} dx$
$\int_3^{\infty} \frac{x^5 - 3}{\sqrt{x^{20} + x^{10} + 1}} dx$
$\int_0^{\infty} \frac{lnx}{xln(x+1)} dx$